Notes Potha

🔢 වර්ගමූලය (Square Root) පිළිබඳ විස්තරය

වර්ගමූලය යනු, යම් සංඛ්‍යාවක් දෙවරක්ම තමා විසින්ම ගුණ කළ විට දී ඇති සංඛ්‍යාව ලැබෙන සංඛ්‍යාවයි. සංකේතවත් ලෙස එය ලෙස නිරූපණය කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, 25 හි වර්ගමූලය 5 වේ, මක්නිසාද යත් 5 x 5 = 25 වන බැවිනි.

ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවකට ධන සහ සෘණ යන වර්ගමූල දෙකක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, 4 හි වර්ගමූලයන් +2 සහ -2 වේ, මක්නිසාද යත් 2^2 = 4 සහ (-2)^2 = 4 වන බැවිනි. කෙසේ වෙතත්, සාමාන්‍යයෙන්  යන සංකේතය මගින් දැක්වෙන්නේ ප්‍රධාන වර්ගමූලය (Principal Square Root) වන ධන අගය පමණි.

වර්ගමූල සොයා ගැනීම ගණිතයේදී, ජ්‍යාමිතියේදී (උදා: පයිතගරස් ප්‍රමේයයේදී) සහ ඉංජිනේරු ක්ෂේත්‍රවලදී වැදගත් වේ.

1. ලවය (Numerator): ඉරට ඉහළින් ඇති අගයයි. මෙයින් නිරූපණය වන්නේ බෙදා වෙන් කරගත් කොටස්වලින් කීයක් අප සතුව තිබේද යන්නයි.
2. හරය (Denominator): ඉරට පහළින් ඇති අගයයි. මෙයින් කියැවෙන්නේ අදාළ සම්පූර්ණ වස්තුව සමාන කොටස් කීයකට බෙදා ඇත්ද යන්නයි.

ත්‍රිකෝණ අංගසාම්‍යය (Congruence of Triangles)

ත්‍රිකෝණ අංගසාම්‍යය යනු ජ්‍යාමිතියේ මූලික සංකල්පයක් වන අතර, ත්‍රිකෝණ දෙකක් හැඩයෙන් සහ ප්‍රමාණයෙන් හරියටම සමාන වන විට ඒවා අංගසාම්‍යය වේ යන්නයි. සරලව කිවහොත්, එක් ත්‍රිකෝණයක් අනෙක මතින් නියතව පිහිටුවිය හැකි නම්, ඒවා අංගසාම්‍යය වේ. අංගසාම්‍ය ත්‍රිකෝණවල අනුරූප පාදවල දිග සමාන වන අතර, අනුරූප කෝණවල විශාලත්වයද සමාන වේ. ත්‍රිකෝණ දෙකක් අංගසාම්‍යය දැයි තීරණය කිරීම සඳහා විවිධ ප්‍රමේයයන් (සාධක) ඇත:

1. පා.කෝ.පා. (SAS - Side-Angle-Side): ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සහ ඒවා අතර අන්තර්ගත කෝණය තවත් ත්‍රිකෝණයක අනුරූප පාද දෙකකට සහ අන්තර්ගත කෝණයට සමාන නම්.
2. පා.පා.පා. (SSS - Side-Side-Side): ත්‍රිකෝණයක පාද තුනේම දිග තවත් ත්‍රිකෝණයක අනුරූප පාද තුනේම දිගට සමාන නම්.
3. කෝ.කෝ.පා. (AAS - Angle-Angle-Side): ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සහ අන්තර්ගත නොවන පාදයක් තවත් ත්‍රිකෝණයක අනුරූප කෝණ දෙකට සහ අන්තර්ගත නොවන පාදයට සමාන නම්.
4. කර්.පා. (RHS - Right-angle, Hypotenuse, Side): සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ දෙකක කර්ණය සහ එක් පාදයක් සමාන නම්.

අංගසාම්‍යය සංකල්පය ජ්‍යාමිතික ගැටලු විසඳීමේදී, විශේෂයෙන්ම නොදන්නා පාදවල දිග හෝ කෝණ සෙවීමේදී මෙන්ම ජ්‍යාමිතික සාධන (proofs) වලදී ඉතා වැදගත් මෙවලමකි.

පරිමේය සංඛ්‍යාවක් (Rational Number) යනු p/q යන ආකාරයට භාගයක් ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකි ඕනෑම සංඛ්‍යාවකි. මෙහිදී p සහ q යනු පූර්ණ සංඛ්‍යා (Integers) විය යුතු අතර, හරය (q) කිසිවිටෙක ශූන්‍ය (0) විය නොහැක.

සියලුම සාමාන්‍ය භාග, පූර්ණ සංඛ්‍යා (උදා: -5, 0, 7), සහ සීමා සහිත දශම (උදා: 0.25) පරිමේය සංඛ්‍යා වේ. මීට අමතරව, නිමක් නැති නමුත් පුනරාවර්තනය වන දශම (උදා: 1/3 = 0.333...) ද පරිමේය සංඛ්‍යා ලෙස වර්ග කෙරේ. ගණිතයේදී පරිමේය සංඛ්‍යා කුලකය 'Q' අක්ෂරයෙන් නිරූපණය කෙරේ.

තාත්වික සංඛ්‍යා පද්ධතියේ (Real Number System) පදනම වන්නේ පරිමේය සංඛ්‍යා වේ.

වර්ගඵලය යනු ද්විමාන තලයක ඇති රූපයක මායිම ඇතුළත ආවරණය වන සම්පූර්ණ අවකාශයේ ප්‍රමාණයයි. එය සෑම විටම වර්ග ඒකක (square units) වලින් මනිනු ලබයි. උදාහරණයක් ලෙස, වර්ග සෙන්ටිමීටර (cm^2), වර්ග මීටර (m^2) හෝ වර්ග අඩි (ft^2) දැක්විය හැක.

වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය රූපයේ හැඩය අනුව වෙනස් වේ.

• සෘජුකෝණාස්‍රයක් සඳහා: දිග xපළල

• වර්ගයක් සඳහා: පැති දිග x පැති දිග

• ත්‍රිකෝණයක් සඳහා:   1/2 x පාදය x උස

ගොඩනැගිලි සැලසුම් කිරීමේදී, ඉඩම් මැනීමේදී සහ ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණය තීරණය කිරීමේදී වර්ගඵලය ඉතා වැදගත් වේ. එය අවකාශය පිළිබඳ අවබෝධයක් ලබා දෙයි.

පරිමිතිය යනු ද්විමාන රූපයක හෝ හැඩයක බාහිර මායිම වටා ඇති මුළු දිගයි. එය මනිනු ලබන්නේ රේඛීය ඒකක (linear units) වලිනි. උදාහරණ ලෙස සෙන්ටිමීටර (cm), මීටර (m) හෝ අඩි (ft) දැක්විය හැක.

පරිමිතිය ගණනය කිරීම සඳහා, රූපයේ සියලුම පැතිවල දිග එකතු කරනු ලැබේ.

• සෘජුකෝණාස්‍රයක පරිමිතිය:  2x( {දිග} +  {පළල}) 

• ත්‍රිකෝණයක පරිමිතිය: පැති තුනේ දිග එකතුව

• වෘත්තයක පරිමිතිය (පරිධිය): 2 \pi r

වැටවල් ඉදිකිරීම, මායිම් නිර්ණය කිරීම සහ වස්තුවක් වටා අවශ්‍ය ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණය තීරණය කිරීම වැනි ප්‍රායෝගික අවශ්‍යතා සඳහා පරිමිතිය තීරණය කිරීම අත්‍යවශ්‍ය වේ.