Notes Potha

⭕ වෘත්තයක කෝණ (Angles in a Circle) 

වෘත්තයක කෝණ යනු ජ්‍යාමිතියේ වැදගත් කොටසකි. වෘත්තයක කෝණ සම්බන්ධයෙන් ප්‍රධාන ප්‍රමේයයන් කිහිපයක් ඇත.

1. මධ්‍ය කෝණය (Centre Angle): වෘත්ත කේන්ද්‍රයේදී චාපයකින් ඇති කරන කෝණයයි.

2. පරිධියේ කෝණය (Angle at the Circumference / Inscribed Angle): එම චාපය මගින් වෘත්ත පරිධියේදී ඇති කරන කෝණයයි.

මූලික ප්‍රමේයය: යම් චාපයක් මගින් මධ්‍යයේ ඇති කරන කෝණය, එම චාපය මගින් පරිධියේ ඉතිරි කොටසේ ඇති කරන කෝණය මෙන් දෙගුණයකි. (මධ්‍ය කෝණය = 2 x පරිධියේ කෝණය).

තවද, අර්ධ වෘත්ත කණ්ඩයක (semicircle) පිහිටි කෝණය සෘජු කෝණයක් (90°) වේ. මෙම ගුණාංග තාරකා විද්‍යාවේ, ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ සහ වෙනත් ජ්‍යාමිතික ගැටලු විසඳීමේදී අත්‍යවශ්‍ය වේ.

🎲 සම්භාවිතාව (Probability) 

සම්භාවිතාව යනු යම් සිදුවීමක් (event) සිදුවීමේ අවස්ථාව හෝ නැතහොත් එහි සැක සහිත බව ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයකි. එය සෑම විටම 0 සහ 1 අතර අගයක් ගනී.

• 0 සම්භාවිතාව යනු සිදුවීමක් කිසිසේත්ම සිදු නොවන බවයි (අසම්භව්‍යයි).

• 1 සම්භාවිතාව යනු සිදුවීමක් නිසැකවම සිදුවන බවයි (නිශ්චිතයි).

• 0.5 සම්භාවිතාව යනු 50% ක අවස්ථාවක් ඇති බවයි.

සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය වන්නේ:

සම්භාවිතාව කාලගුණ අනාවැකි, අවදානම් තක්සේරු කිරීම, ක්‍රීඩා විශ්ලේෂණය සහ රක්ෂණ ක්ෂේත්‍ර වැනි එදිනෙදා ජීවිතයේ විවිධ තීරණ ගැනීමේ ක්‍රියාවලීන් සඳහා අත්‍යවශ්‍ය වේ.

 

✨ වර්ගඵලය (Area) 

වර්ගඵලය යනු ද්විමාන තලයක ඇති රූපයක මායිම ඇතුළත ආවරණය වන සම්පූර්ණ අවකාශයේ ප්‍රමාණයයි. එය සෑම විටම වර්ග ඒකක (square units) වලින් මනිනු ලබයි. උදාහරණ ලෙස, වර්ග සෙන්ටිමීටර (cm^2), වර්ග මීටර (m^2) හෝ වර්ග අඩි (ft^2) දැක්විය හැක.

වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය රූපයේ හැඩය අනුව වෙනස් වේ.

• සෘජුකෝණාස්‍රයක් සඳහා: දිග x පළල

• වර්ගයක් සඳහා: පැති දිග x පැති දිග

• ත්‍රිකෝණයක් සඳහා: 1/2 \x පාදය x උස

ගොඩනැගිලි සැලසුම් කිරීමේදී, ඉඩම් මැනීමේදී සහ ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණය තීරණය කිරීමේදී වර්ගඵලය ඉතා වැදගත් වේ. එය අවකාශය පිළිබඳ අවබෝධයක් ලබා දෙයි.

💯 ප්‍රතිශත (Percentage) 

ප්‍රතිශතයක් යනු මුළු ප්‍රමාණයකින් සියයට කීයක් තිබේද යන්න දැක්වීම සඳහා යොදා ගන්නා ක්‍රමයකි. එය සෑම විටම 100 ට සාපේක්ෂව කොටසක් නියෝජනය කරයි. "ප්‍රතිශත" යන වචනය ලතින් භාෂාවේ "per centum" (සියයකට) යන්නෙන් බිඳී ඇත. ප්‍රතිශතය '%' යන සංකේතයෙන් නිරූපණය කෙරේ.

ප්‍රතිශත ගණනය කරනු ලබන්නේ භාගයක් 100 න් ගුණ කිරීමෙනි.

උදාහරණයක් ලෙස, මුළු සිසුන් 50 දෙනෙකුගෙන් 10 දෙනෙකු සමත් වී ඇත්නම්, සමත් වූ ප්‍රතිශතය වන්නේ (10/50)100% = 20% ය. ප්‍රතිශත ලාභය, වට්ටම්, ඡන්ද ප්‍රතිඵල සහ පොලී ගණනය කිරීම් වැනි එදිනෙදා මූල්‍ය කටයුතුවලදී අත්‍යවශ්‍ය වේ.

ජ්‍යාමිතික නිර්මාණවලදී, වෘත්තය බොහෝ විට යොදා ගැනෙන්නේ:

1. දිග සමාන කොටස් වෙන්කර ගැනීමට.

2. සමාන්තර හෝ ලම්බ රේඛා ඇඳීමට.

3. කෝණ ද්විඛණ්ඩනය කිරීමට.

📐 ත්‍රිකෝණමිතිය (Trigonometry) 

ත්‍රිකෝණමිතිය යනු ගණිතයේ එක් ශාඛාවක් වන අතර, එය ත්‍රිකෝණවල පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතාවය අධ්‍යයනය කරයි. විශේෂයෙන්ම, එය සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ (right-angled triangles) සඳහා යොදා ගැනේ.

ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික සංකල්ප තුන වන්නේ:

1. සයිනය (Sine - sin)

2. කෝසයිනය (Cosine - cos)

3. ටැන්ජනය (Tangent - tan)

මෙම අනුපාත භාවිතයෙන්, ත්‍රිකෝණයක නොදන්නා පැතිවල දිග හෝ කෝණවල අගයන් ගණනය කළ හැකිය. ත්‍රිකෝණමිතිය ඉංජිනේරු විද්‍යාව, තාරකා විද්‍යාව, සිතියම්කරණය සහ භෞතික විද්‍යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්‍රවල යෙදේ. එය දුර, උස සහ කෝණ නිවැරදිව තීරණය කිරීමට ඉතා වැදගත් මෙවලමකි.

වේගය යනු අදිශ රාශියක් වන අතර, එහි දිශාවක් (direction) නොමැත.

වේගය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රය වන්නේ:

මෙහිදී වේගයේ සම්මත ජාත්‍යන්තර ඒකකය වන්නේ ms^-1 වේ. කෙසේ වෙතත්, දෛනික භාවිතයේදී කිලෝමීටර/පැය (m/h) සහ සැතපුම්/පැය (mph) වැනි ඒකක ද භාවිතා වේ.

ඒකාකාර වේගය යනු වස්තුවක් නියත වේගයකින් ගමන් කරන විට වන අතර, විචල්‍ය වේගය යනු වේගය වෙනස් වන විටයි. චලිතය (motion) පිළිබඳ අවබෝධ කර ගැනීමට සහ ප්‍රවාහන හා ඉංජිනේරු ක්ෂේත්‍රවලදී වේගය පිළිබඳ සංකල්පය මූලික වේ.

📊 දත්ත නිරූපණය හා සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තිය (Data Representation and Frequency Distribution)

දත්ත නිරූපණය යනු සංඛ්‍යාත්මක තොරතුරු පැහැදිලි හා තේරුම් ගැනීමට පහසු ආකාරයකින් ඉදිරිපත් කිරීමයි.

සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තිය යනු දත්ත කට්ටලයක් තුළ එක් එක් අගයක් හෝ අග සමූහයක් (පන්ති) කොපමණ වාර ගණනක් සිදු වී ඇත්දැයි පෙන්වන වගුවකි. මෙය දත්ත සංවිධානය කිරීමේ මූලික පියවරයි.

සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තිය සෑදීමේදී, දත්ත පන්තිවලට වර්ග කර, එක් එක් පන්තියට අදාළ සංඛ්‍යාතය (නැවත සිදුවීම් ගණන) සටහන් කරයි. මෙම සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තිය පදනම් කරගෙන ඇඳිය හැකි ප්‍රස්ථාරයක් වන්නේ හිස්ටෝග්‍රෑම් (Histogram) ය. දත්ත විශ්ලේෂණය සඳහා මෙම සංකල්ප අතිශයින් වැදගත් වේ.

➕ සමාන්තර ශ්‍රේණි (Arithmetic Progressions - AP) 

සමාන්තර ශ්‍රේණියක් යනු, එහි පද දෙකක් අතර වෙනස සෑම විටම නියත අගයක් (constant difference) ගන්නා සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක් (sequence) වේ. මෙම නියත අගය පොදු අන්තරය (d) ලෙස හඳුන්වයි.

සමාන්තර ශ්‍රේණියක පළමු පදය aලෙසත්, පොදු අන්තරය d ලෙසත් ගත් විට, ශ්‍රේණියේ n වන පදය (Tn) සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය වන්නේ:

📉 සරල රේඛීය ශ්‍රිතය: y = mx 

y = mx යනු සරල රේඛීය ශ්‍රිතයක (Linear Function) මූලිකම ආකාරයයි. මෙම සමීකරණය මගින් පෙන්වන්නේ x සහ y විචල්‍යයන් අතර ඇති සෘජු සමානුපාතික (Directly Proportional) සම්බන්ධතාවයයි.

මෙහිදී:

• y සහ x යනු විචල්‍යයන් වේ.

• m යනු නියතයක් වන අතර එය අනුක්‍රමණය (Gradient) ලෙස හඳුන්වයි.

m අනුක්‍රමණයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ x හි වෙනසට සාපේක්ෂව y වෙනස් වන වේගය හෝ රේඛාවේ බෑවුම (steepness) යි. මෙම සමීකරණයෙන් නිරූපණය වන රේඛාව සෑම විටම ඛණ්ඩාංක ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය (Origin, 0, 0) හරහා ගමන් කරයි.

y = mx සූත්‍රය භෞතික විද්‍යාවේ (උදා: දුර = වේගයx කාලය), ආර්ථික විද්‍යාවේ සහ විවිධ විද්‍යාත්මක ආකෘතිවල සරල රේඛීය සබඳතා විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා ඉතා මූලික වේ.

📝 සූත්‍ර (Formulae) 

සූත්‍රයක් යනු විචල්‍යයන් (variables), සංඛ්‍යා සහ ගණිතමය සංකේත භාවිතයෙන් ප්‍රමාණ අතර සම්බන්ධතාවක් හෝ ප්‍රතිඵලයක් ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයක් දක්වන සංක්ෂිප්ත, තාර්කික ප්‍රකාශනයකි.

ගණිතය, විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව වැනි විවිධ විෂයයන්හිදී සූත්‍ර භාවිතා වේ. සූත්‍රවල මූලික අරමුණ වන්නේ සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සහ ඕනෑම ආදාන අගයන් කට්ටලයක් සඳහා නිවැරදි ප්‍රතිඵලයක් ලබා දීමයි.

උදාහරණයක් ලෙස, සෘජුකෝණාස්‍රයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්‍රය A = l x w වන අතර, මෙහි A යනු වර්ගඵලය, l යනු දිග සහ w යනු පළලයි.

සූත්‍ර නිවැරදිව භාවිත කිරීම සඳහා, එක් එක් සංකේතයෙන් නිරූපණය වන ප්‍රමාණය කුමක්ද යන්න සහ ඒකක නිවැරදිව ආදේශ කරන්නේ කෙසේද යන්න අවබෝධ කර ගැනීම අත්‍යවශ්‍ය වේ.

➗ ලඝුගණක (Logarithms) 

ලඝුගණකයක් යනු ගණිතමය ක්‍රියාවක් වන අතර එය ඝාතීය ශ්‍රිතයක (exponential function) ප්‍රතිලෝමය වේ.

යම් පාදයකට (base, b) සාපේක්ෂව x හි ලඝුගණකය යනු, x ලබා ගැනීම සඳහා පාදය නැංවිය යුතු බලය (power) යි. එය මෙසේ ලියනු ලැබේ:

විද්‍යාවේදී සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාවේදී ලඝුගණක ඉතා වැදගත් වේ. ශබ්දයේ තීව්‍රතාව (ඩෙසිබල්), භූමිකම්පාවල ප්‍රමාණය (රිච්ටර් මාපකය) සහ රසායන විද්‍යාවේ pH අගයන් වැනි විශාල පරාසයක විචලනය වන දත්ත සරල ආකාරයකින් ඉදිරිපත් කිරීමට සහ හැසිරවීමට ලඝුගණක උපකාරී වේ.

💠 සමාන්තරාස්‍ර (Parallelogram) 

සමාන්තරාස්‍රයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති දෙකම එකිනෙකට සමාන්තර (parallel) සහ දිගින් සමාන වන චතුරස්‍රයකි. මෙය සරල, උත්තල බහුඅස්‍රයක් වන අතර, එහි ඇතැම් ප්‍රධාන ගුණාංග ඇත:

• ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.

• ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ.

• පැති දෙකක් අතර පිහිටි ආසන්න කෝණ වල එකතුව 180° වේ (අනුපූරක වේ).

• එහි කර්ණ දෙක එකිනෙක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේදී ද්විඛණ්ඩනය කරයි.

සමාන්තරාස්‍රයක වර්ගඵලය ගණනය කරනු ලබන්නේ පාදය (base) සහ අනුරූප සිරස් උස (perpendicular height) ගුණ කිරීමෙනි: {වර්ගඵලය} = {පාදය} x {උස}. සෘජුකෝණාස්‍ර, වර්ග සහ රොම්බසය (rhombus) යන සියල්ලම සමාන්තරාස්‍රවල විශේෂ අවස්ථා වේ.

⚖️ සමීකරණ (Equations) පිළිබඳ විස්තරය

සමීකරණයක් යනු ගණිතමය ප්‍රකාශන දෙකක් සමාන ලකුණක් (=) මගින් සම්බන්ධ කර ඇති ප්‍රකාශනයකි. එය සමාන ලකුණේ දෙපස ඇති අගයන් සමාන බව පෙන්නුම් කරයි. 

සමීකරණ විසඳීමේ ප්‍රධාන අරමුණ වන්නේ නොදන්නා විචල්‍යයේ (උදා: x) අගය සෙවීමයි. මෙය සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණයේ දෙපසටම එකම ගණිතමය ක්‍රියාවලිය (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම හෝ බෙදීම) යොදා ගනිමින් සමතුලිතතාවය පවත්වා ගැනීමෙනි. භෞතික විද්‍යාව, ඉංජිනේරු විද්‍යාව සහ ආර්ථික විද්‍යාව ඇතුළු සියලුම විද්‍යාත්මක ක්ෂේත්‍රවල සමීකරණ මූලික මෙවලමකි.

🔢 සංඛ්‍යා පාද (Number Bases) 

සංඛ්‍යා පාදයක් (Base) යනු සංඛ්‍යා පද්ධතියක ඒකක කණ්ඩායම් කිරීමට යොදා ගන්නා මුළු ඉලක්කම් ගණනයි. අප සාමාන්‍යයෙන් භාවිත කරන්නේ ඉලක්කම් 10 ක් (0 සිට 9 දක්වා) ඇති පාද 10 (දශමය - Decimal) පද්ධතියයි.

තොරතුරු තාක්ෂණයේදී සහ පරිගණක විද්‍යාවේදී පාද 2 (ද්වීමය - Binary), පාද 8 (අෂ්ටමය - Octal) සහ පාද 16 (ෂඩ් දශමය - Hexadecimal) පද්ධති බහුලව භාවිත වේ. ද්වීමය පද්ධතියේ භාවිත වන්නේ 0 සහ 1 පමණි. සෑම සංඛ්‍යා පාදයකම අගය තීරණය වන්නේ එහි ස්ථානීය අගය (Place Value) අනුව වන අතර, එය පාදයේ බලයන් මත රඳා පවතී. නිදසුනක් ලෙස, පාද 10 හිදී, 425 යනු 4 x 10^2 + 2x 10^1 + 5 x 10^0 වේ. විවිධ පාද අතර සංඛ්‍යා පරිවර්තනය කිරීම ගණිතයේ වැදගත් කුසලතාවකි.

➗ වීජීය භාග (Algebraic Fractions) 

වීජීය භාගයක් යනු හරයෙහි සහ/හෝ ලවයෙහි වීජීය ප්‍රකාශන (algebraic expressions) අඩංගු වන භාගයකි. සාමාන්‍යයෙන් මේවා P/Q ආකාරයෙන් ලියනු ලබන අතර, මෙහිදී P සහ Q යනු බහුපද වන අතර Q ශුන්‍ය නොවිය යුතුය.

වීජීය භාග, සංඛ්‍යාත්මක භාග හා සමානවම හැසිරවිය හැක. එනම්, ඒවා සරල කිරීම, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම කළ හැකිය. සරල කිරීමේදී, ලවයේ සහ හරයේ පොදු සාධක ඉවත් කිරීම වැදගත් වේ. එකතු කිරීමේදී සහ අඩු කිරීමේදී, කුඩා පොදු ගුණාකාරය (LCM) සොයා ගැනීම අත්‍යවශ්‍ය වේ. වීජීය සමීකරණ විසඳීමේදී සහ වඩාත් සංකීර්ණ ගණිතමය ගැටලු විසඳීමේදී වීජීය භාග වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.

✖️ වීජීය ප්‍රකාශන වල කුඩා පොදු ගුණාකාරය (LCM) 

කුඩා පොදු ගුණාකාරය (LCM) යනු දෙන ලද වීජීය ප්‍රකාශන දෙකකින් හෝ වැඩි ගණනකින් නිශ්චිතව බෙදිය හැකි කුඩාම වීජීය ප්‍රකාශනයයි. භාග එකතු කිරීමේදී හෝ අඩු කිරීමේදී ප්‍රකාශන පොදු හරයකට (common denominator) ගෙන ඒම සඳහා මෙය අත්‍යවශ්‍ය වේ.

වීජීය ප්‍රකාශන වල LCM සොයා ගැනීම සඳහා:

1. සෑම ප්‍රකාශනයක්ම සාධක (factors) වලට වෙන් කරන්න.

2. සියලු සාධක වල විශාලතම බලයන් (highest powers) තෝරා ගන්න.

3. තෝරාගත් එම සාධක ගුණ කරන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, x^2 සහ x^2 + x යන ප්‍රකාශනවල LCM සොයා ගැනීමට x^2 සහ x(x+1) සාධක කළ විට LCM එක x^2(x+1) වේ. LCM යනු වීජ ගණිතමය භාග හැසිරවීමේදී මූලික මෙවලමකි.

➗ අනුපාත (Ratio) 

අනුපාතයක් යනු එකිනෙකට සම්බන්ධ වූ ප්‍රමාණ දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් අතර පවතින සබඳතාව සංසන්දනය කිරීමේ ක්‍රමයකි. එය a:b ආකාරයෙන් හෝ භාගයක් (a/b) ලෙස හෝ වචන වලින් ("a ට b") දැක්විය හැක. අනුපාතයකින් පෙන්නුම් කරන්නේ, එක් ප්‍රමාණයක් තවත් ප්‍රමාණයකට සාපේක්ෂව කී ගුණයක් විශාල ද යන්න හෝ එහි කොටසක් ලෙස කොපමණ ප්‍රමාණයක් තිබේද යන්නයි.

උදාහරණයක් ලෙස, පන්තියක පිරිමි ළමුන් 10ක් සහ ගැහැණු ළමුන් 15ක් සිටී නම්, ඔවුන්ගේ අනුපාතය 10:15 වන අතර එය 2:3 දක්වා සරල කළ හැක. මෙයින් අදහස් වන්නේ සෑම ගැහැණු ළමුන් 3 දෙනෙකුටම පිරිමි ළමුන් 2ක් සිටින බවයි.

අනුපාත භාවිතා කරනු ලබන්නේ වට්ටෝරු සකස් කිරීමේදී, සිතියම් පරිමාණයන්හිදී සහ මුදල් හෝ දේපළ බෙදා හැරීමේදීය.

📐 ත්‍රිකෝණමිතිය (Trigonometry) 

ත්‍රිකෝණමිතිය යනු ගණිතයේ එක් ශාඛාවක් වන අතර, එය ත්‍රිකෝණවල පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතාවය අධ්‍යයනය කරයි. විශේෂයෙන්ම, එය සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ (right-angled triangles) සඳහා යොදා ගැනේ.

ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික සංකල්ප තුන වන්නේ:

1. සයිනය (Sine - sin)

2. කෝසයිනය (Cosine - cos)

3. ටැන්ජනය (Tangent - tan)

මෙම අනුපාත භාවිතයෙන්, ත්‍රිකෝණයක නොදන්නා පැතිවල දිග හෝ කෝණවල අගයන් ගණනය කළ හැකිය. ත්‍රිකෝණමිතිය ඉංජිනේරු විද්‍යාව, තාරකා විද්‍යාව, සිතියම්කරණය සහ භෞතික විද්‍යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්‍රවල යෙදේ. එය දුර, උස සහ කෝණ නිවැරදිව තීරණය කිරීමට ඉතා වැදගත් මෙවලමකි.